Проблемный научно-философский и культурологический журнал http://www.polygnozis.ru
   

Главная

Поиск

Печать
   
 
 » О журнале
 » Тематика
 » Редакционный совет
 » Требования
 Аннотации и ключ.слова
А Б Г Д З И К Л М Н Р С Т Ч Ш Щ
 Annotations and key words
A B C D G I K L M R S Z
 Рубрикатор
A B C E F G H I L M N P R S T U W Д И М О П Р
 » Адрес редакции

  И.Ш.Шевелев. Число «три» и структура ряда натуральных чисел//Полигнозис, 1(21), 2003

ЧИСЛО «ТРИ» И СТРУКТУРА РЯДА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

 

И.Ш.Шевелев

 

1. Феномен «золотого сечения» до настоящего времени глубоко не понят, хотя ему посвящено огромное множество работ. Авторы этих работ указывают на появление различных модификаций числа золотого сечения Ф = 1,618 при описании физических и биологических структур и природных явлений: в членениях и пропорциях тел живых организмов[1], в периодах обращения планет Солнечной системы[2], в отношении величин верхнего и нижнего давления крови у человека, в структуре таблицы химических элементов Менделеева[3]. Константа ÖF определяет структуру пространства симметрии подобий и внутримолекулярную структуру молекулы воды[4] и является константой сенсорного восприятия[5]. Те же числовые отношения устойчиво наблюдают социологи[6] и исследователи выдающихся, наиболее совершенных произведений искусства: в музыке[7], скульптуре, архитектуре[8], поэзии[9], технике и медицине[10]. Удивительное соответствие математических свойств феномена «золотого сечения» естественным, природным процессам и работе человеческого восприятия наводит на мысль, что перед нами — алгоритмы саморазвития Природы, сконцентрированные с невероятной емкостью в одной числовой структуре. Обращает на себя внимание особенность этой структуры: наличие в ее основании двух не имеющих общей меры начал, рациональной и иррациональной составляющих. За этой внешне простой формой деления целого на части, как выяснилось, скрываются фундаментальные свойства Природы, из исследования которых следуют многочисленные и удивительные математические и практические следствия.

 

2. Попыткой показать, что число Ф — не что иное как код, происходящий из идеи о целостности (первоначальной данности Высшего разума), что в этом коде сконцентрированы алгоритмы саморазвития Природы, была моя книга «Метаязык живой природы»[11]. Но вскоре после ее выхода в свет были сделаны новые и особенно важные в теоретическом смысле наблюдения. Они тесно связаны с исследованием понятий «натуральное число» и «единица». Они недавно опубликованы мной в брошюре «О целостности, зеркальной симметрии и числе единица»[12] и в одноименной статье в журнале «Полигнозис»[13].

В этой работе было показано, что наличие двух взаимно иррациональных начал в не тождественном им третьем представляет собой — исключительно и только в случае золотого числа Фтриединое число, а именно единицу, имеющую три числовых образа. Триединство — это такая взаимосвязь не тождественных, не имеющих общей меры трех сущностей (триада), при которой каждый из членов этой триады в отношении каждого другого является и целым, состоящим из других ее членов, и частью целого. Отправным пунктом этого доказательства было то наблюдение, что геометрические фигуры, выражающие каждое из чисел триады — 1, Ö5 и Ф (прямоугольники с отношением сторон 1:1, 1:Ö5, 1:Ф), — состоят, в пространстве симметрии подобий, друг из друга. Каждое из них может быть в отношении другого и целым, и частью целого. Только в данной триаде и фигуры геометрии, выражающие эти числа, и сами эти числа могут быть в отношении друг друга и частью целого, и целым! Действительно, число Ф состоит из половины числа 1 и половины числа Ö5, между собою не имеющих общей меры:

Ф = ½ Ö5 + ½ 1,                                                                   (1а)

в то время как числа 1 и Ö5, в свою очередь, являются — каждое — целым, составленным из двух взаимно комплементарных форм числа золотого сечения:

1 = Ф+1 – Ф-1,    Ö5= Ф+1 + Ф-1.                                           (1в)

Данное триединство порождает — и в то же время порождается — законами зеркальной и поворотной симметрии и антисимметрии[14] и лежит в основании безгранично гибкой комбинаторики математической модели саморазвития[15].

В этом свете особый интерес вызывает вопрос: в чем суть и сила принципа триединства в его абстрактно отвлеченной, математической форме? Ответом на этот вопрос и является то, как связан структурно феномен золотого сечения с рядом натуральных (природных, или целых) чисел. Именно этой проблеме и посвящена представляемая здесь вниманию читателя статья.

 

3. Неожиданно выяснилось, что если положить в основу построения натурального ряда число 3, то натуральный ряд чисел приобретет троичную периодическую структуру, в которой роль числа, создающего эту структуру, будет играть уже не число 1, последовательно складываемое само с собой, а число 3, последовательно умножаемое само на себя. Это возможно по той причине, что числа 1 и 3 суть, то и другое, комплементарные структуры числа Ф либо квадрата числа Ф (комплементарными здесь и далее условимся называть числа, соединение которых, в данном случае умножение друг на друга, воспроизводит единицу).

В случае Ф тривиальному в арифметике (Ф+1) ´-1) = 1, +2) ´-2) = 1 сопутствует уникальное.

Единица (1) — образ комплементарной структуры «исходное число Ф»:

1 = (Ф+1) + (Ф-1).

Тройка (3) — образ комплементарной структуры «число Ф, умноженное само на себя»:

3 = (Ф+2) + (Ф-2).

В системе счисления, опирающейся на число Ф, дистанция от числа 1 до числа 3, образно говоря, охватывает все мыслимые натуральные числа. И вот почему.

Весь ряд натуральных чисел можно представить аддитивно, опираясь на принцип триад, используя в качестве символов (операторов) исключительно и только число 3, последовательно умножаемое само на себя. Мультипликативность скрылась, она ушла из оперативного поля строительства ряда внутрь операторов, которые суть числа 3n.

Тройка (объединение квадратичности и комплементарности в системе Ф) — явление уникальное. Она одна строит, умножаясь сама на себя, все числа натурального ряда. Каждое число в структуре ряда имеет индивидуальный образ. При этом символов (операторов, строящих натуральный ряд чисел) несравнимо с другими возможными аддитивными структурами мало. Р.Кантор, оценивая аддитивные системы нумерации, существовавшие в древности (египетская, еврейская, греческая и римская), замечает, что «в чисто аддитивных системах с увеличением изображаемых чисел требуется неограниченное число изображаемых символов». Но в аддитивной системе, основанной на числе 3a, в структуру основания заложена экспоненциальная прогрессия. Поэтому здесь, напротив, по мере увеличения чисел в ряду число символов, необходимых для выражения прибавляемого множества чисел, падает с астрономической скоростью. Достаточно сказать, что на отрезке натурального ряда чисел, где нумеруются миллионы, введение одного нового, четырнадцатого по счету оператора (N14 = 314) прибавляет почти 4,783 ´ 106 чисел последовательности (SN14 - SN13); а на участке ряда, где исчисляются миллиарды миллиардов, введение одного нового, сорокового по счету оператора (N40 = 340) позволяет включить в систему счета дополнительно более чем 1,215766 ´ 1019 чисел последовательности (SN40 - SN39). При этом ни одно число в возрастающей последовательности не теряется, и ни одно число не образуется различными способами — в границах закона коммутативности. Числообразующая мощь и экономность действия каждого нового символа возрастает по сверхэкспоненциальному закону (см. далее уравнение 5 и табл. 3).

 

4. Рассмотрим, как возникла эта уникальная структура. Рассмотрим принцип, обусловивший могущество числа «три» — причину уникальной экономности, эффективности троичного ритма, убедимся в том, что троичная периодическая система является системой счета, где экспоненциальному росту чисел сопутствует выявление каждого образующего эту структуру числа. Подчеркнем, что в нашей работе натуральный ряд чисел исследуется не количественно, как последовательность величин, а как связь сущностей, как качество вещей: здесь натуральные числа рассматриваются — каждое — как структура, согласованная со структурой взаимной связи частей — в целое (структура ряда). Здесь фундаментально различие умножения (мультипликативность) и сложения (аддитивность). Это различие в следующем.

Мультипликативность (последовательное умножение) мы рассматриваем как алгоритм взаимодействия двух единиц бытия, в результате которого появляется нечто третье — единица, способная существовать во времени. Это обусловлено взаимным соответствием, предназначенностью двух сущностей к воссоединению в целое: следовательно, на языке чисел два числа комплементарны, если их перемножение воссоздает число 1. Комплементарные числа — обратные числа.

Обозначим некую сущность символом А. Число А имеет смысл, если оно соотнесено некому эталону — числу 1; любому целому числу А = находится обратное ему число . Запишем эти числа: +А+1 и +А-1. Они взаимно комплементарны, поскольку их умножение друг на друга воссоздает единицу:

 ´  = 1.                                                             (2)

Но число 1 можно получить и аддитивно, складывая или вычитая два числа. Нас занимает сложение и вычитание не любых, а только комплементарных, предназначенных самой Природой к соединению сущностей. Эту проблему мы здесь и рассмотрим.

 

5. В естественной математике за основание единиц мы приняли число Ф. При этом, как мы ранее доказали, единица может принимать три образа — это числа 1, Ö5 и Ф[16]. Рассмотрим, как эти образы возникают, когда комплементарные числа соединяются аддитивно. Аддитивное соединение комплементарных чисел в единицы можно представить протекающим по двум сценариям: по сохраняющему комплементарность и по преобразующему комплементарную пару в пару чисел-антиподов. Что мы назовем числами-антиподами? Это те же комплементарные (обратные) числа, но противоположные по знаку. Здесь сопоставление образующих целое частей носит абсолютно противоположный характер. Антиподом сущности, представленной символом (+А+1), служит сущность, представленная символом (–А-1). Что произойдет, когда целое складывается из комплементарных чисел или чисел-антиподов, если эти числа суть числа золотого сечения Ф?

Таблица 1

Числовая модель становления и взаимных преобразований

структурных единиц — чисел 1, Ö5 и 3

 

п/п

Еди-

ница   

     Структура

       единицы

Перехо-

дит при

перемене знака  

Переходит

при пере-

мене пока-

зателей                   степени

Переходит

при переме-

не знака и

показателей степени  

    Структура

      единицы

Еди-

ница     

 1.

   1

  (+Ф+1) + (–Ф-1)

      ®

 

 

 (+Ф+1) – (–Ф-1) =

 (+Ф+1) + (+Ф-1)

Ö5

 2.

 Ö5

  (+Ф+2 ) + (–Ф-2)

 

 

     ¬ ®

 3.

   3

  (+Ф+2 ) – (–Ф-2)

=(+Ф+2) + (+Ф-2)

 

     ¬ ®

 

 

 

        ¬   

 (+Ф+1 ) + (–Ф-1)

1

 

В таблице легко различить структуры Ф первой степени (1 и Ö5 ), второй степени (Ö5 и 3), структуры-антиподы (1 и Ö5 ) и структуры комплементарные (Ö5 и 3).

Таблица 2

Становление и преобразования удвоенных единиц 1 и Ф

 

 

  п/п

Единица 

Структура

единицы (чис-

ла-антиподы)

Переходит при при перемене знаков и

показателей степени

Структура

единицы (числа

комплементарные)

Единица

  1.

    1

(+Ф+1) + (–Ф-1)

            ®

(+Ф+1) – (–Ф-2)

2

  2.

    2

(+Ф+2) + (–Ф-1)

         ¬ · ®

  3.

    -1

(+Ф+1) + (–Ф-2)

         ¬ · ®

 (+Ф+2) – (–Ф-1)

 

Из таблицы 1 мы видим, что:

— число 1 есть структура антиподов, чисел (+Ф+) и (–Ф-).

Перемена знака, соединяющего эти антиподы, преобразовала структуру-антипод в структуру комплементарную, а именно, число 1 преобразовалось в число Ö5.

— Удвоение показателей степени — переход комплементарной структуры первой степени в квадратную — есть преобразование числа Ö5, во-первых, из числа Ö5 комплементарной структуры в число Ö5 антиподной структуры и, во-вторых, в число комплементарной структуры 3. Иными словами:

Удвоение показателей степени и перемена знака — преобразование комплементарной структуры Ф первой степени в квадратную структуру антиподов — есть преобразование числа 1 в число 3.

— Таким образом, числа 3 и Ö5 суть пара. Алгоритм, представленный в табл. 1, можно прочесть как образ рождения бинарной структуры в физике, а в полном комплекте — как образ рождения тринара. Единица (комплементарно — антиподная структура) за счет перемены характера взаимодейстия ее частей (обратные числа) преобразует число 1 в числа ® Ö5 ® 3 ® 1. Уместно напомнить: аналогичный по смыслу результат мы получили ранее, рассматривая рождение бинарных и тринарных Ф-структур при поперечных дихотомиях бесконечно протяженного уравнения целостности  = 1 (поперечные дихотомии, бинары и тринары)[17].

Из таблицы 2 следует, что:

— если показатели степени в структуре смешаны (присутствуют в одной структуре вместе и первая и вторая степень числа Ф), то структура выражает дважды, во-первых, удвоение числа 1 (число 2 представлено и как структура-антипод, и как структура комплементарная) и, во-вторых, дважды выражает удвоение числа Ф: число Ф также представлено и как структура комплементарная, 2Ф+1, и как структура-антипод, 2Ф-1 (табл. 2).

Итак:

— Число Ф проявило себя как уникум, его комплементарная пара и его пара антипод, соединяясь, воспроизводят число 1,а в квадратной форме — число 3.

— Число три (3) проявило себя числом глобального значения как комплементарная структура, являющаяся основанием натурального ряда чисел. Число 3 дает ключ к формальному определению понятия «единица» в структуре ряда натуральных (естественных) чисел, т.е. чисел, основанных на числе Ф. Чтобы дать это определение, нам необходимо исследовать натуральный ряд чисел как структуру троичную.

 

6. Обозначим единицы счета, конструирующие натуральный ряд, символами Na, где a порядковый номер оператора, а также показатель степени числа 3. Число N = 3 определило периодичность структуры, обладающей высокоэффективными свойствами. Свойства эти показаны далее. Поясним их, согласно традиции теории чисел, образами геометрии. Отождествим число «единица» с точкой, помещенной в центре куба. Утроив единицу, получим три куба, расположенные в строку. Утроив число строк, получим слой — квадрат из 9 кубов. Утроив число слоев, вновь придем к образу куба, уже второго порядка. Это тот же исходный куб в кубе. Единица (30) на новом уровне стала числом 33. Ритм метаморфоз определен (рис. 1b). Из куба 33 можно аналогичным действием получить тождественный ему образ — куб и т.д. Все структурные законы, заложенные в куб № 1, сохранят силу в кубе второго порядка № 2, и в кубе № 3, и т.д. Остается в этом лишь убедиться.

Рисунок 1а показывает процедуру построения натурального ряда чисел методом триад (строки 1, 2, 3, 4). Рассмотрим строку 2. Здесь для создания шкалы чисел использованы три оператора: 30 = 1; 31 = 3; 32 = 9. Шкала разделена на две структурно разные части. Левая часть шкалы обращена, образно говоря, в прошлое (назовем ее «основанием»), правая конструирует будущее, (назовем ее «приращением»). Основание — это утроенный оператор предыдущего уровня: 9 = 3 ´ 3 (операторы 3 и 9 выделены кружками).

 

Рисунок 1a                                        Рисунок 1b. Периодичность троичной структуры

Троичная структура ряда натуральных чисел       Геометрическая интерпретация

                                                                                  .

í                                                                                ê

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Членение шкалы выполняется симметрично от границы основания и приращения влево, «в прошлое», и вправо, «в будущее», и выполняет это членение сумма операторов «прошлого»: 30 + 31 = 4. На рисунке это действие показано стрелками ¬ · ®. Полный диапазон членений шкалы оказывается равным сумме всех задействованных операторов: 13 = 9 + 3 + 1. А на участке основание (эта часть шкалы выделена жирной линией), действие ¬ · вычленило в центре основания (отрезком 9 – 4 = 5) одно деление шкалы ценой 30 = 1. Это — основание структуры, поместившееся на стыке триад. Оно играет здесь фундаментальную роль, соединяя конец целой шкалы предшествующего уровня (строка 2, число 13) с приращением, созданным действием ¬ · ®. Этим приращением число 13 превращено в число 40 (13 + 13 ´ 2 + 1 = 40). Троичность — структура уникальная, она не пропускает ни одного числа последовательности и не перекрывает одним периодом — другой на всем протяжении шкалы, направленной в ¥.

Допустим, нам нужно взвесить любой вес от 1 до 40 килограммов. Сколько нужно для этого кратных килограмму гирь, и какого достоинства? Задачу решают гири в 1, 3, 9 и 27 кг, т.е. числа 30, 31, 32, 33. Помещая эти гири на обе чаши весов, мы найдем все нужные веса.

2 = 3 – 1; 4 = 3 + 1; 5 = 9 – (3 + 1); 6 = 9 – 3; 7 = 9 + 1 – 3; 8 = 9 – 1; 10 = 9 + 1; 11 = 9 + 3 – 1; 12 = 9 + 3; 13 = 9 + 3 + 1; 14 = 27 – (9 + 3 + 1); 15 = 27 – (9 + 3); 16 = 27 + 1 – (9 + 3); 17 = 27 – (9 + 1); 18 = 27 – 9; 19 = 27 + 1 – 9; 20 = 27 + 3 – (9 + 1); 21 = 27 + 3 – 9; 22 = 27 + 3 + 1 – 9; 23 = 27 – (3 + 1): 24 = 27 – 3; 25 = 27 + 1 – 3; 26 = 27 – 1; 28 = 27 + 1; 29 = 27 + 3 – 1; 30 = 27 + 3; 31 = 27 + 3 + 1; 32 = 27 + 9 – (3 + 1); 33 = 27 + 9 – 3; 34 = 27 + 9 + 1 – 3; 35 = 27 + 9 – 1; 36 = 27 + 9; 37 = 27 + 9 + 1; 38 = 27 + 9 + 3 – 1; 39 = 27 + 9 + 3; 40 = 27 +9 +3 + 1.

Триадная структура числовой шкалы, представленная на рис. 1,b, позволила нам получить все без исключения порядковые числа этой шкалы от 1 до 33 + приращение. Периодичность системы автоматически распространяет это ее качество на все триады более высокого ранга.

Как только мы введем оператор (), система охватит 19 683 «куба» — единицы счета, во-первых, не пропустив ни одного числа и, во-вторых, не воспроизведя ни разу одно и то же число дважды. Структура вложенных друг в друга троек предельно комбинаторна и идеально экономична.

Таблица 3

Построение ряда натуральных чисел операторами 3n

 

Na

a

Na = 3a

Сумма цифр

в числе Na

Сумма цифр

в числе ΣNa

0

     0

1

 

 

 

1

     1

3

 

4

         4

2

     2

9

                    9

13

         4

3

     3

27

                    9

40

         4

4

     4

81

                    9

121

         4

5

     5

243

                    9

364

13 « 4

6

     6

729

          18 « 9

1 093

13 « 4

7

     7

2 187

          18 « 9

3 280

13 « 4

8

     8

6 561

          18 « 9

9 841

22 « 4

9

     9

19 683

          27 « 9

29 524

22 « 4

10

   10

59 049

          27 « 9

88 573

31 « 4

11

   11

177 147

          27 « 9

265 720

22 « 4

12

   12

531 441

          18 « 9

797 161

31 « 4

13

   13

1 594 323

          27 « 9

2 391 484

31 « 4

14

   14

4 782 969

          45 « 9

7 174 453

31 « 4

15

   15

14 348 907

          36 « 9

21 523 360

22 « 4

16

   16

43 046 721

          27 « 9

64 570 081

31 « 4

 

    ..

…………….

       ……….9

………………

       ……4

 

   27

и т.д.

7,6255974´1012

       ……….9

1,14383962´1013

       ……4

 

Число чисел шкалы  определяет уравнение (5).

.           (5)

В табл. 3 показано, как растет шкала чисел натурального ряда, если растет число символов (операторов), сложением и вычитанием которых в троичной системе эта шкала конструируется. Рассмотрено число операторов, начиная от двух (строки 0 и 1) до шестнадцати (строка 16).

Следует отметить такую закономерность: сумма цифр в числе Na всегда равна 9, а сумма цифр в числе, представляющем весь диапазон натурального ряда чисел SNa, всегда равна 4. Это еще раз показывает фундаментальность квадратной структуры числа Ф.

                                   9 = (Ф+2 + Ф-2)2 ; 4 = (Ф + Ф-2)2.

 

7. Теперь мы видим все в новом свете.

Теорема троичности. Число 1 есть одно деление шкалы, которая построена аддитивно (сложением и вычитанием) исключительно и только отрезками (числами) 3a, если при построении этой шкалы ни одно число последовательности 3a  не пропущено и не пропущено ни одно возможное сочетание сложений и вычитаний чисел 3a (a — числа натурального ряда, a = 0, 1, 2, 3, 4. и т.д.).

Следствие: Каждому сочетанию отвечает одно число натурального ряда. Шкала включает все натуральные числа. Каждому числу присущ единственный алгоритм (в рамках закона коммутативности).

Если построен ряд действительных натуральных чисел от 1 до А, где А — любое целое число, то число чисел (А) определяет уравнение:

А = .                                        (3)

Здесь N = 3, a — наибольший оператор и одновременно число операторов, необходимых для построения последовательности чисел, ai — номера операторов N, прибавляемых к основанию Na (это числа 3a), ak — номера операторов, вычитаемых из него же чисел 3a.

Следовательно: сущностью ряда натуральных чисел является квадратная, комплементарная форма числа золотого сечения, т.е. равновесно-симметричная его форма, бинар Ф±2, или, что одно и то же, число 3:

(+Ф+2-2) = 3.                                                         (4)

Естественными основаниями натурального ряда чисел являются числа Na = 3a

Na  = (+ Ф+2 + Ф-2) a  = 3a.               

Круг наших наблюдений замкнулся: математическая логика — зеркальное отображение реальности в сознании человека — нашла себе естественную опору во всеобъемлющей триаде

Ф±1/2    ¬ Ф±1 ®  Ф±2.

Действительно:

1). Числом золотого сечения Ф±1/2 построено пространство симметрии подобий, в котором мы нашли ключ к математическому отображению:

— с одной стороны, триединства единицы, т.е. возможность ее пребывания одновременно и в образах чисел, целых по основаниям 1 и Ö5 и, в силу существования их взаимосвязанности, — в образе Ф, т.е., в целом, — в трех ипостасях[18];

— с другой стороны, мы нашли в нем ключ к геометрическому моделированию становления основополагающих форм живой природы[19].

2). Число золотого сечения +Ф±2 — алгоритм вложенных друг в друга триад — с феноменальной экономичностью строит все множество целых (натуральных) чисел. Ряд натуральных (естественных) чисел (происходит от слова nature — природа) впервые обретает естественное (природное) основание — уравнение (4).

 

8. Пифагорейцы, следовательно, были правы, утверждая, что все есть число, как прав был и Л.Кронекер, утверждая: «Бог создал целые числа, все прочее — дело рук человека».

Естественный мир отражен в целых числах, которым свойственно троичное основание, самой Природе присущее. Или, что, вероятно, точнее, — троичная основа натурального ряда чисел и есть та основа, на которой покоятся алгоритмы становления — программы строительства структур феноменального мира. Число 3 соединяет в себе два закона: закон комплементарности и закон квадратов — законы, фундаментально проявленные физическим миром.

Полученные математические результаты (преобразование чисел Ф в числа 1, 2, 3 и Ö5) и фундаментальные данные естествознания позволяют, по совокупности сделанных наблюдений, предположить следующее: числа 2 и 3, как производные символа сущности Ф, играют фундаментальную роль в структурной организации форм бытия. Триада чисел 1, Ö5, Ф представляет саму эту сущность: природу и причину господства в феноменальном мире — неразделимо — двойственности и триединства.



[1] См.: Цейзинг А. Золотое деление как основной морфологический закон в природе и в искусстве. М., 1876; Петухов С. Геометрии живой природы и алгоритмы самоорганизации. М., 1988.

[2] См.: Бутусов К. Золотое сечение в Солнечной системе // Астрометрия и небесная механика. М.– Л., 1978.

[3] См.: Марутаев М.А. Гармония как закономерность природы // Золотое сечение. М., 1990.

[4] См.: Шевелев И. О формообразовании в природе и в искусстве // Золотое сечение. М., 1990.

[5] См.: Рыбин И. Психофизика. Поиск новых подходов // Природа. 1990. № 2.

[6] См.: Азроянц Э.А. Периодическая таблица фрактальной эволюции // Современная картина мира. Формирование новой парадигмы. М., 2001; Харитонов А.С. Поиск закономерностей устойчивого развития сложных систем // Прикладная физика. 2000. № 6.

[7] См.: Марутаев М.А. Указ. соч.

[8] См.: Цейзинг А. Указ. соч.

[9] См.: Васютинский Н. Циклы природы и общества // Циклические процессы в природе и обществе. Ставрополь, 1995.

[10] См.: Балакшин О. Синтез систем. М., 1995.

[11] См.: Шевелев И.Ш. Метаязык живой природы. М., 2000.

[12] См.: Шевелев И.Ш. О целостности, зеркальной симметрии и числе единица. Кострома, 2002.

[13] См.: Шевелев И.Ш. О целостности, зеркальной симметрии и числе «единица» (начала естественной геометрии) // Полигнозис. 2002. № 3.

[14] См.: Шевелев И. О целостности, зеркальной симметрии и числе единица. Кострома, 2002, п. 12–15, табл. 2, 3.

[15]См.: Шевелев И. Там же. П. 18–20, табл. 6–12.

[16] См. уравнение (1), подробнее: Шевелев И. О целостности, зеркальной симметрии и числе единица. Кострома, 2002, пп. 6–8.

[17] См.: Шевелев И. О целостности, зеркальной симметрии и числе единица. Кострома, 2002, п. 26.

[18] Шевелев И. О целостности, зеркальной симметрии и числе единица. Кострома, 2002. С. 34–35, п. 29, рис. 3.

[19] Там же. С. 37–43.

  Журналы
2013 г. - №1-4
2012 г. - №1-4
2011 г. - №3-4 №2 №1
2010 г. - №3 №1-2
2009 г. - №4 №3 №2 №1
2008 г. - №4 №3 №2 №1
2007 г. - №1
2004 г. - №4 №3 №2 №1
2003 г. - №4 №3 №2 №1
2002 г. - №4 №3 №2 №1
2001 г. - №4 №3 №2 №1
2000 г. - №4 №3 №2 №1
1999 г. - №4 №3 №2 №1
1998 г. - №4 №3 №2 №1
 Список авторов
  Авторы
А Б В Г Д Ж З И К Л М Н О П Р С Т Ф Х Ц Ч Ш Щ Я
 Об авторах
А Б В Г Д Ж З И К Л М Н О П Р С Т Ф Х Ц Ч Ш Щ Я
 
Главный редактор: САМОХВАЛОВА Вера Ильинична

© Институт философии Российской академии наук, 1998-2018 гг.
 
© Журнал "Полигнозис", 1998-2018 г.
 


© Сопровождение сайта: Издательство "ИИнтеЛЛ"